Matematické předměty

Algebra (2/1)
RNDr. Alena Vanžurová, CSc.
Pojem množiny a pojem zobrazení. Grupa, okruh, těleso. Vektorové prostory. Vektory. Matice, determinanty. Operace s maticemi. Matice rozdělené na pole a operace s nimi; trojúhelníkové a diagonální matice. Matice, ekvivalence matic. Podobné matice, charakteristická matice a charakteristický mnohočlen matice. Soustavy lineárních rovnic. Definice a vlastnosti soustav lineárních rovnic. Algebraické rovnice vyšších stupňů; obecné vlastnosti. Rovnice druhého, třetího a čtvrtého stupně. Binomické rovnice. Reciproké rovnice. Kvadratické a Hermitovy formy.
Analytická geometrie (2/1)
RNDr. Alena Vanžurová, CSc.
Souřadnice bodu na přímce a v rovině. Vzdálenost dvou bodů. Rovnice křivky jako geometrického místa bodů. Směrnicová, úseková, obecná, vektorová rovnice přímky.. Parametrické rovnice přímky. Rovnice přímky procházející dvěma danými body. Průsečík dvou přímek. Rovnice svazku přímek. Orientovaná přímka. Směrové kosiny. Úhel dvou přímek. Normálová rovnice přímky. Vzdálenost bodu od přímky. Rovnice os úhlů sevřených dvěma přímkami. Polární souřadnice. Parametrické rovnice křivky v rovině. Shodné transformace kartézských souřadnic v rovině. Homogenní souřadnice. Obecná rovnice kuželoseček. Afinní a projektivní transformace. Pól, polára, střed, sdružené průměry a tečny kuželosečky. Soustavy souřadnic v třech dimenzích. Pravoúhlá soustava souřadnic. Cylindrická soustava souřadnic. Sférická soustava souřadnic. Lineární útvary. Kvadratické plochy. Rotační plochy a přímkové plochy. Vektorový a tenzorový počet: Vektorová algebra, skalární, vektorový, smíšený a dvojný součin. Vektorová analýza. Derivace vektoru. Skalární a vektorové pole. Gradient, divergence, rotace. Nabla-operátor, Laplaceův operátor. Vyjádření v cylindrických a sférických souřadnicích. Křivkový a plošný integrál vektoru. Vektorový zápis Stokesovy věty, Gaussovy věty a Greenových vět. Kontravariantní a kovariantní souřadnice vektoru a jejich transformace při změně soustavy souřadnic. Pojem tenzoru v prostoru. Tenzory na ploše. Základní algebraické operace s tenzory. Symetrický kvadratický tenzor.
Diferenciální geometrie (1/1)
RNDr. Alena Vanžurová, CSc.
Vyjádření křivky, délka oblouku a tečna křivky. Průvodní trojhran a Frenetovy vzorce. První a druhá křivost, přirozené rovnice křivky. Styk křivek, oskulační kružnice. Asymptoty. Singulární body rovinných křivek. Obalová křivka jednoparametrické soustavy křivek v rovině. Křivky rovnoběžné, spádové, evoluty a evolventy. Směr tečny, křivost a asymptoty rovinných křivek v polárních souřadnicích. Definice a vyjádření plochy; souřadnice na ploše. Křivka na ploše, tečná rovina plochy, normála plochy. Obalová plocha jednoparametrické soustavy ploch, rozvinutelné plochy. První základní forma plochy. Druhá základní forma plochy, tvar plochy vzhledem k tečné rovině. Křivost plochy. Asymptotické křivky. Základní rovnice Weingartenovy, Gaussovy a Codazziho. Geodetická křivost, geodetické křivky a spádové křivky na ploše.
Matematická analýza I (4/2)
RNDr. Vladimíra Mádrová, CSc.
Množiny, číselné obory, číselné intervaly, omezené množiny, supremum, infimum, maximum, minimum množiny, hromadný bod množiny. Kartézský součin, relace, zobrazení, funkce. Funkce, definiční obor, graf, vlastnosti funkcí, přehled elementárních funkcí a jejich grafů a vlastností. Inverzní funkce. Algebraické a trascendentí funkce. Posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, vybraná posloupnost. Limita posloupnosti, věty o limitách, výpočet limit, některé význačné limity. Limita a spojitost funkce. Definice limity, jednostranné limity, nevlastní limity a limity v nevlastních bodech. Věty o limitách, některé význačné limity. Pojem spojitosti, body nespojitosti, věty o spojitých funkcích. Výpočty limit funkcí. Derivace funkce. Pojem derivace, jednostranné derivace, pravidla po počítání s derivacemi, derivace funkce složené a inverzní, derivace elementárních funkcí derivace vyšších řádů. Diferenciál. Základní věty diferenciálního počtu - věta Rolleova, Lagrangeova, l'Hospitalovo pravidlo. Užití diferenciálního počtu. Monotonnost funkce, lokální a globální extrémy, nutná podmínka a postačující podmínky pro extrémy. Konvexnost, konkávnost, inflexní bod, nutná podmínka a postačující podmínka pro inflexní bod. Asymptoty. Průběh funkce. Taylorův a Maclaurinův vzorec, rozvoj některých elementárních funkcí. Pojem neurčitého integrálu a primitivní funkce. Definice, pravidla pro počítání, metoda per partes, substituční metoda. Integrace elementárních funkcí, integrace racionálních funkcí a funkcí, které lze převést na integraci racionálních funkcí. Určitý integrál. Cauchy-Riemannova definice, vlastnosti určitého integrálu, Newtonův vzorec. Aplikace integrálního počtu. Nevlastní integrály. Přibližný výpočet určitých intergálů: obdélníková metoda, Simpsonovo pravidlo, Čebyševův vzorec.
Matematická analýza II (4/3)
RNDr. Vladimíra Mádrová, CSc.
Bodové množiny, otevřené a uzavřené množiny, oblast, kompaktní množina. Metrické prostory. Diferenciální počet funkcí dvou proměnných. Definice, definiční obor, obor hodnot, graf. Limita funkce dvou proměnných v bodě, spojitost. Parciální derivace, totální diferenciál, derivace složené funkce, derivace v daném směru. Parciální derivace vyšších řádů. Taylorův rozvoj. Extrémy funkcí dvou proměnných - lokální, globální, vázané, Lagrangeova metoda neurčitých koeficientů. Funkce tří proměnných - základní pojmy, extrémy. Implicitní funkce. Číselné řady, základní pojmy, konvergence řad, operace s řadami. Kriteria konvergence číselných řad. Funkcionální posloupnosti a řady, bodová a stejnoměrná konvergence, integrování a derivování řad. Mocninné řady, jejich vlastnosti, derivace a integrace. Integrály závislé na parametru. Vlastní a nevlastní integrály. Spojitost, diferencovatelnost a integrace podle parametru. Významné integrály závislé na parametru, Eulerovy integrály BETA a GAMMA.
Matematická analýza III (5/3)
doc. RNDr. Jiří Zeman, CSc.
doc. RNDr. Jan Andrés, CSc.
Konvergence posloupností bodů v metrickém prostoru. Cauchyovské posloupnosti, úplný prostor. Banachova věta o pevném bodě a její použití. Kompaktní prostor. Separabilní prostor. Normovaný lineární prostor, Banachův prostor, Hilbertův prostor. Ortogonalita prvků, ortogonální systémy. Operátory v Hilbertově prostoru. Dvojný integrál, základní vlastnosti a geometrický význam. Podmínky integrovatelnosti. Výpočet postupnou integrací. Fubiniova věta. Trojné integrály, základní vlastnosti a výpočet. Substituce v trojném integrálu. Použití dvojného a trojného integrálu k výpočtu geometrických a fyzikálních veličin. Nevlastní vícerozměrné integrály. Křivkové integrály I. a II. druhu, základní vlastnosti a výpočet. Integrace totálního diferenciálu. Integrální věty vektorové analýzy. Měřitelné množiny. Měřitelné funkce. Definice základních vlastnosti Lebesgueova integrálu omezené funkce. Integrál nezáporné měřitelné funkce a funkce libovolného znaménka. Srovnání integrálu Lebesgueova a Riemannova. Funkce s konečnou variací a absolutně spojité funkce. Riemannův-Stieltjesův integrál. Obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu. Věty o existenci a jednoznačnosti řešení Cauchyovy úlohy. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu. Rovnice se separovatelnými proměnnými, homogenní rovnice, lineární rovnice, Bernoulliova rovnice, exaktní rovnice, integrační faktor. Některé typy diferenciálních rovnic vyššího řádu. Snížení řádu rovnice. Rovnice nerozřešené vzhledem k nejvyšší derivaci. Rovnice Clairautova a Lagrangeova. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu. Homogenní rovnice, fundamentální systém řešení. Rovnice nehomogenní, metoda variace konstant. Rovnice se speciální pravou stranou. Eulerovy rovnice. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu. Oscilující řešení. Řešení pomocí mocninných řad. Rovnice Fuksova typu. Rovnice 2. řádu mající význam v aplikacích. Okrajové úlohy. Homogenní a nehomogenní okrajová úloha. Greenova funkce. Samoadjungovaný vlastní problém. Sturmův-Liouvilleův vlastní problém. Systémy obyčejných diferenciálních rovnic 1. řádu, zvláště lineárních. Soustavy s konstantními koeficienty. Vztah mezi systémy a jednou rovnicí vyššího řádu. První integrály soustavy rovnic. Ljapunovova stabilita řešení diferenciálních rovnic a soustav. Kritéria stability pro lineární systémy s konstantními koeficienty. Metoda Ljapunovských funkcí.
Matematická fyzika (2/1)
prof. RNDr. Vlasta Peřinová, DrSc.
Okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice 2. řádu eliptického typu: Problém vlastních hodnot a vlastních funkcí, Sturmova-Liouvilleova úloha, Greenova funkce, harmonické funkce, zobecněné harmonické funkce, Fourierova metoda pro vlastněhodnotové úlohy, Newtonův potenciál  v prostoru, okrajové úlohy pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici  v prostoru, Greenova funkce pro Dirichletovu úlohu, okrajové úlohy pro Laplaceovu rovnici  v rovině. Smíšená úloha pro parciální diferenciální rovnice 2. řádu hyperbolického a parabolického typu: Fourierova metoda, klasické a zobecněné řešení smíšené úlohy. Soustavy parciálních diferenciálních rovnic 1. řádu.
Pravděpodobnost a statistika (2/1)
RNDr. Antonín Lukš, CSc.
Náhodný jev, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost, nezávislost náhodných jevů, celková pravděpodobnost, Bayesovy vzorce. Náhodná veličina, distribuční funkce, rozdělení pravděpodobností. Náhodná veličina diskrétního a absolutně spojitého typu. Náhodný vektor, nezávislost náhodných veličin. Číselné charakteristiky náhodných veličin a náhodných vektorů. Limitní věty. Úvod do matematické statistiky, náhodný výběr, výběrová funkce (statistika), bodový odhad parametru, intervalový odhad, testování parametrických hypotéz, základní testy.
Rovnice matematické fyziky (3/2)
prof. RNDr. Vlasta Peřinová, DrSc.
Klasifikace kvazilineárních parciálních diferenciálních rovnic 2. řádu. Základní okrajové úlohy pro lineární parciální diferenciální rovnice 2. řádu. Zobecněné funkce z prostorů D' a S'. Fourierova transformace zobecněných funkcí z S'. Laplaceova transformace zobecněných funkcí. Fundamentální řešení lineárních diferenciálních operátorů (v zobecněném smyslu) a Cauchyova úloha. Cauchyova úloha pro vlnovou rovnici, retardovaný potenciál, plošné retardované potenciály. Šíření vln. Riemannova metoda. Cauchyova úloha pro rovnici vedení tepla, tepelný potenciál, plošný tepelný potenciál. Fredholmovy a Volterrovy lineární integrální rovnice, Fredholmovy věty pro integrální rovnice s degenerovaným jádrem, se spojitým jádrem a se singulárním jádrem, důsledky Fredholmových vět. Integrální rovnice s hermiteovským jádrem. Hilbertova-Schmidtova věta a její důsledky. Jentzschova věta, Mercerova věta.
Úvod do výpočetní techniky (2/1)
doc. Ing. Karel Tomančák, CSc.
Hardware, software, operační systém DOS a jeho nadstavby. Windows 95. Textové procesory, úvod do systému LATEX. Algoritmizace úloh. Strukturované programování. Základy programování v jazyku PASCAL. Počítačová grafika, základní pojmy a algoritmy vektorové grafiky. Výpočet základních parametrů optické soustavy pomocí počítače. Základní numerické metody, rovnice f(x) = 0, soustava lineárních rovnic.
Variační počet (1/1)
RNDr. Antonín Lukš, CSc.
Nejjednodušší úloha variačního počtu. Eulerova rovnice. Klasifikace extrémů. Zobecnění nejjednodušší úlohy. Přípustné čáry s volnými koncovými body. Podmíněný extrém. Variační úlohy v parametrickém tvaru. Postačující podmínky silného a slabého extrému. Přímé metody řešení variačních úloh.
Vybrané kapitoly z matematická analýzy (4/3)
doc. RNDr. Jiří Zeman, CSc.
Komplexní rovina. Posloupnosti a řady komplexních čísel. Funkce komplexní proměnné, její limita a spojitost. Derivace komplexní funkce. Holomorfní funkce. Posloupnosti a řady komplexních funkcí. Mocninné řady. Konformní zobrazení. Integrál komplexní funkce. Cauchyova věta a vzorec. Integrály Cauchyova typu. Primitivní funkce. Taylorovy a Laurentovu řady. Izolované singulární body a jejich klasifikace. Rezidua. Reziduová věta a její použití. Analytické pokračování. Schwarzův princip symetrie. Analytická funkce a její větve. Eliptické funkce. Fourierovy řady v Hilbertově prostoru. Ortogonální systémy, úplnost. Fourierův integrál. Rozvoje podle vlastních funkcí některých diferenciálních rovnic. Ortogonální polynomy a jejich vlastnosti. Integrální transformace. Věty o přímé transformaci, věty o zpětná transformaci. Použití Laplaceovy transformace. Použití Fourierovy transformace. Některé další používané integrální i diskrétní transformace.