Diferenciální geometrie


1. Křivky: Bodové a vektorové funkce jedné a dvou proměnných - limita, spojitost, derivace. Křivky - zadání parametricky, explicitně, implicitně. Regulární křivky, regulární transformace parametru, invarianty křivky. Tečna a normálová rovina. Délka křivky, přirozená parametrizace křivky. Inflexní body, singulární body. Frenetův repér - jednotkové vektory tečny, hlavní normály, binormály, roviny tečná, oskulační, rektifikační. Flexe křivky, poloměr křivosti, střed křivosti, oskulační kružnice, vrcholy křivky. Frenetovy vzorce, torze křivky. Přirozené rovnice křivky. Křivky Bertrandovy, spádové, evoluty a evolventy. Obalová křivka jednoparametrické soustavy rovinných křivek. Dotyk křivky a geometrického útvaru. Asymptoty rovinné křivky. Rovnice, směr tečny, křivost a asymptoty rovinné křivky v polárních souřadnicích.

2. Plochy: Plochy - zadání parametricky, explicitně, implicitně. Regulární plocha. Křivočaré souřadnice na ploše. Křivky na ploše - souřadnicové, obecné. Tečná rovina, normála. Regulární transformace parametru. Plochy rotační, kvadratické, přímkové, šroubové. Obalová plocha jednoparametrické soustavy ploch. Vektory a tenzory na ploše. Tenzory nultého, prvního, druhého a n-tého řádu. Kovariantní a kontravariantní souřadnice tenzorů. Algebraické operace s tenzory, úžení tenzorů, zvyšování a snižování indexů. Transformační vztahy pro složky tenzorů. Symetrické a antisymetrické tenzory. Tenzorové pole. První kvadratická diferenciální forma plochy. Délka křivky na ploše, úhel dvou křivek, plošný obsah obrazce. Izometrické zobrazení a rozvíjení ploch. Druhá kvadratická diferenciální forma plochy, normální křivost plochy. Meusnierova věta. Hlavní směry a křivosti, hlavní křivky, střední a Gaussova křivost plochy. Plochy minimální. Typy bodů na ploš, parabolické křivky. Eulerova věta, Dupinova indikatrix. Asymptotické směry, asymptotické křivky. Geodetická křivost, geodetické křivky. Gaussovy a Weingartenovy rovnice, věta o určenosti plochy první a druhou formou.

Literatura:
1. Budínský, B. Kepr - Základy diferenciální geometrie s technickými aplikacemi, SNTL Praha, 1970
2. Vanžurová - Diferenciální geometrie křivek a ploch, UP Olomouc 1996
3. J. Metelka - Diferenciální geometrie, SPN Praha, 1969
A. V. Pogorelov - Diferencialnaja geometrija, Nauka Moskva, 1969
4. M. Doupovec - Diferenciální geometrie a tenzorový počet, VUT Brno, 1999