Příklady k pochopení
předchozí - Obsah - další
Příklady - k pochopení / k procvičení / řešení - Úvodní pojmy - Galileiho transformace - Michelsonův pokus - Postuláty - Relativnost současnosti - Dilatace času - Kontrakce délky - Lorentzova transformace - Skládání rychlostí - Dynamika

Skládání rychlostí

1. Těleso se pohybuje vzhledem k vztažné soustavě K ´ rychlostí u´ = 3/4c souhlasně orientovanou s osou x´; stejnou rychlostí v se pohybuje soustava K ´ vzhledem k soustavě K. Určete rychlost tělesa vzhledem k soustavě K.

Řešení
Pro rychlost u' a v neplatí v tomto případě podmínky
$u' \ll c$ a $v \ll c$, a proto při řešení příkladu nelze použít klasický zákon pro skládání rychlostí. Z relativistického vztahu

\begin{displaymath}u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u'v}{c^{2}} }\end{displaymath}

dostáváme
\begin{displaymath}u = \frac{ \frac{3}{4}c + \frac{3}{4}c }{1 + \frac{9}{16} } = \frac{24}{25}c = 0,96c.\end{displaymath}

Výsledná rychlost u je opět menší než rychlost světla ve vakuu. Použití klasického zákona skládání rychlostí by vedlo v tomto případě k nesprávnému výsledku
\begin{displaymath}u_{k} = u' + v = \frac{3}{4}c + \frac{3}{4}c = 1,5c.\end{displaymath}

2. Z letadla letícího rychlostí 1 000 km.h-1 byla ve směru letu vystřelena střela rychlostí 2 000 km.h-1 (vzhledem k letadlu). Určete rychlost střely vzhledem k Zemi.

Řešení
Obě rychlosti v = 1 000 km.h-1 a u' = 2 000 km.h-1 jsou ve srovnání s rychlostí světla c velmi malé; při řešení příkladu lze proto použít klasický zákon skládání rychlostí

u = u´ + v = 2 000 km.h-1 + 1 000 km.h-1 = 3 000 km.h-1.

Relativistický vztah pro skládání rychlostí vede ke stejnému výsledku

\begin{displaymath}u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u'v}{c^{2}} } = \frac{2.10^{3} km... ...{c^{2}} } = 2 999,999 999 995 km.h^{-1} \doteq 3 000 km.h^{-1},\end{displaymath}

jeho použití je zde však zbytečné.

3. Dokažte, že při skládání rychlostí v a u´ o velikostech menších než c má také výsledná rychlost u velikost menší, než je rychlost světla c.

Řešení
Zvolme případ, v němž rychlosti v a u' mají stejný směr. Relativistický vztah pro skládání rychlostí upravme nejprve na tvar

\begin{displaymath}u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u'v}{c^{2}} } = c\frac{c(u' + v)}{c^{2} + u'v}.\end{displaymath}

Vzhledem k tomu, že 0 < v < c a 0 < u' < c, je také (c - v)(c - u') > 0, c2 - cv - cu' + u'v >0 a c2 + u'v > c(u' + v). Porovnáním upraveného vztahu pro skládání rychlostí s poslední nerovností pak dostáváme u < c.

4. Student chtěl vyvrátit poznatek o konečné rychlosti šíření informací myšlenkovým pokusem. Předpokládejme, že v bodu A nastala určitá událost U. Pozorovatel P1 umístěný poblíž bodu A chce předat informaci o vzniku této události jinému pozorovateli P2, jenž je umístěn poblíž bodu B. K přenosu informace použije pozorovatel P1 tuhou tyč umístěnou mezi body A a B. V okamžiku, v němž událost U nastala, posune pozorovatel P1 levý konec tyče ve směru šipky doprava. Poněvadž tyč je tuhá, posune se současně i její pravý konec a tak lze informaci o vzniku události U předat pozorovateli P2 nekonečně velkou rychlostí. Je studentova úvaha správná?

Řešení
Úvaha je založena na nesprávném předpokladu, že v přírodě existují absolutně tuhá tělesa. Je třeba si uvědomit, že pojem tuhá tyč je jen určitá abstrakce. Posuneme-li tyč zhotovenou z libovolné látky ve směru doprava, deformuje se nejdříve jen její levý konec u bodu A; tato deformace se pak šíří rychlostí v směrem k bodu B a teprve pak se posune pravý konec tyče). Rychlost v, kterou se šíří deformace, je stejná jako rychlost zvuku v dané látce (např.rychlost zvuku v oceli v = 5 000 m.s-1 = 5 km/s). Informace o vzniku události U se tedy v tyči šíří konečnou rychlostí v < c.

Chybná představa o současném pohybu obou konců tyče při jejím uvádění do pohybu ve směru podélné osy vzniká proto, že doba $t = \frac{d}{v}$, o níž se pohyb bodu B za pohybem bodu A opozdí, je v praxi většinou velmi malá. Kdybychom např. ocelovou tyč o délce d = 10 m posunuli ve směru její podélné osy, je zpoždění $t = \frac{d}{v} = \frac{10}{5 000} s = 2.10^{-3} s$.
Chybná představa o současném pohybu obou konců tyče při jejím uvádění do pohybu ve směru podélné osy vzniká proto, že doba t = d/v, o níž se pohyb bodu B za pohybem bodu A opozdí, je v praxi většinou velmi malá. Kdybychom např. ocelovou tyč o délce d = 10 m posunuli ve směru její podélné osy, je zpoždění t = d/v = 10/5000 s = 2.10-3 s.

5. Zdroj elektronů Z emituje elektrony o rychlostech u a -u v navzájem opačných směrech; u = 1,5.108 m.s-1. Určete rychlost elektronu, který se pohybuje vpravo, vzhledem k elektronu pohybujícímu se vlevo.

Řešení
Vzhledem k soustavě K' spojené s levým elektronem se zdroj Z pohybuje vpravo rychlostí u = 1,5.108 m.s-1. Pravý elektron se vzhledem ke zdroji pohybuje ve stejném směru stejně velkou rychlostí u = 1,5.108 m.s-1. Pro velikost rychlosti u´ elektronu pohybujícího se vpravo vzhledem k soustavě K ´ dostáváme proto

\begin{displaymath}u' = \frac{u + u}{1 + \frac{u^{2}}{c^{2}} } = \frac{3.10^{8} ... ....s^{-1})^{2}}{(3.10^{8} m.s^{-1})^{2}} } = 2,4.10^{8} m.s^{-1}.\end{displaymath}

Elektron se vzhledem k druhému elektronu pohybuje rychlostí 2,4.108 m.s-1.

6. Dvě tyče A a B o vlastních délkách 1 m se vzhledem k Zemi pohybují rychlostmi v a -v po vodorovné přímce, v níž leží osy obou tyčí; v = 0,5c. Jaká je délka tyče B v soustavě souřadnic spojené s tyčí A?

Řešení
Tyč B se vzhledem k tyči A pohybuje rychlostí

\begin{displaymath}u = \frac{v + v}{1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} } = \frac{4}{5}c.\end{displaymath}

Délka tyče B vzhledem k tyči A je tedy
\begin{displaymath}l = l_{0}\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}} } = l_{0}\frac{3}{5} = 0,6 m.\end{displaymath}

Tyč B má v soustavě souřadnic spojené s tyčí A délku 0,6 m.

7. Inerciální soustava K ´ se pohybuje vzhledem k inerciální soustavě K stálou rychlostí v. V čase t´= O se začala z počátku soustavy K ´ pohybovat v kladném směru osy y´ částice P stálou rychlostí o velikosti uy´. Najděte velikost rychlosti u této částice v soustavě K.

Řešení
Vyřešme úlohu nejprve podle klasické fyziku pro $v \ll c$ a $u'_{y} \ll c$. Částice P se vzhledem k soustavě K ´ pohybuje po přímce O´P, vzhledem k soustavě K po přímce OP. Velikost rychlosti částice v soustavě K je pak zřejmě

\begin{displaymath}u = \sqrt{{u_{x}}^{2} + {u_{y}}^{2}} = \sqrt{v^{2} + {u'_{y}}^{2}},\end{displaymath}

kde ux a uy jsou souřadnice rychlosti u. Při řešení této úlohy podle zákonů relativistické fyziky nemůžeme vycházet ze vzorce pro skládání rychlostí, poněvadž rychlosti uy´ a v jsou na sebe kolmé; použijeme proto Lorentzovu transformaci. Pro pohyb částice v soustavě K' platí:
\begin{eqnarray*}x´&=&O\\ y´&=&u'_{y} t'\\ z´&=&O \end{eqnarray*}


Z Lorentzovy transformace vyplývá

\begin{eqnarray*}x &=& \frac{x' + vt'}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} } } = \frac... ...2}}{c^{2}} } } = \frac{t'}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} } } \end{eqnarray*}


a odtud
\begin{eqnarray*}y &=& y' = u'_{y}t' = u'_{y}\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} }t \\... ...c{vt'}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} } } = vt \\ z &=& z' = O \end{eqnarray*}


Pro souřadnice rychlosti u pak dostáváme

\begin{eqnarray*}u_{x} &=& \frac{x}{t} = v \\ u_{y} &=& \frac{y}{t} = u'_{y}\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} }. \end{eqnarray*}


Hledaná velikost rychlosti u v soustavě K je proto
\begin{displaymath}u = \sqrt{{u_{x}}^{2} + {u_{y}}^{2}} = \sqrt{v^{2} + {u'_{y}}^{2} \biggl(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \biggr) }.\end{displaymath}

Odlišný výsledek v porovnání s klasickou fyzikou dostáváme proto, že v klasickém případě platí samozřejmě rovnost uy = u´y, zatímco podle relativistické fyziky je uy = u´yg.

Příklady k procvičení - Skládání rychlostí

Začátek stránky
předchozí - Obsah - další
Příklady - k pochopení / k procvičení / řešení - Úvodní pojmy - Galileiho transformace - Michelsonův pokus - Postuláty - Relativnost současnosti - Dilatace času - Kontrakce délky - Lorentzova transformace - Skládání rychlostí - Dynamika

Speciální teorie relativity, Jaroslav Joch © 2000